B. kom 15 år gammel til Bergen som elev av portrettmaleren Carl Lehmann. Han synes å ha arbeidet mest på egen hånd som landskaps- og portrettmaler, og går i sine portretter ut over lærerens tamme kunst i poengtert skildring av modellen. To prospekter fra Stavanger (Stavanger kommune) har man villet legge til 1822, men de kan neppe være malt før i B.s akademitid, antagelig 1826.
B. var av en stor søskenflokk, og det var bare med støtte av privatfolk i Bergen han i 1825 kunne reise til Kunstakademiet i København. Her ble han til 1829. Han er notert som elev ved 1. frihåndsklasse januar-april 1826, og antagelig gipsklassen 1827–28. Etter eget utsagn avanserte han til øverste klasse ved Akademiet 1828. I mai 1828 kom han til Christiania ifølge med Th. Fearnley. B.s viktigste lærer i København synes å ha vært C.W. Eckersberg, som ved B.s hjemreise gav ham sin anbefaling under henvisning til komposisjonen Heimdal kaller gudene til kamp. Vinteren 1828–29 var B. igjen i København. Da støtten fra Norge stanset, ble han støttet av en ikke navngitt dansk privatmann. Sist i mai 1829 kom B. til Christiania. Han var i Norge til 1836 og ble så J.C. Dahls elev i Dresden til 1839. I 1843 kunne han påny reise til Dahl og ble i Dresden til han to år senere slo seg ned i München for godt. B.s utdannelse var basert på en svak økonomi og foregikk derfor med store avbrekk. Et solid grunnlag for sin kunst fikk han egentlig ikke.
Som ung var B. sterkt opptatt av mytologiske og historiske emner. Det lå i tiden. Også i sine senere landskapsbilleder ynder han å putte inn ensomme figurer med preg av fortid og saga. Billeder fra Akademitiden som Heimdal kaller gudene til kamp og Hermodr i Helheim, er preget av læreren, Eckersbergs, klassisisme, men er uten hans sikkerhet. Marcus Grønvold skildrer fra B.s etterlatenskaper: "Der sitter Tor støttet på Mjølnir som seierherre over Iætterne som ligger rundt omkring ham med bristende øine - der stamper vikingen som er kommet hjem om høsten, opp fra sjøen mellom snepudrede stenblokker mens fjorden ligger dyp mørkeblå under ham". Fra akademitiden er det tiltalende, om ikke helt sikre i tegningen, Parti av antikksalen, som forestiller kunstnere som tegner etter avstøpninger, samt selvportrettet, En ung kunstner betraktende sitt arbeide, utstilt 1827 og 1828. Fra 1829 arbeidet B. et par år i Christiania som portrettmaler. Som andre av den tids kunstnere har han i avisen anbefalt seg til det gode publikum under betegnelsen "Elev av Kunstakademiet i København". Han kommer her på linje med Mathias Stoltenberg, som B. kan ha kjent fra København. De har felles sterke inntrykk av dansk portrettmaleri. Omfanget av B.s portrettkunst er ikke fastlagt, men han synes å ha malt et stort antall portretter i mindre format under sine opphold i Norge, særlig av embedsmenn og deres fruer.
I Christiania-tiden dyrket B. fortsatt landskapet. I juli 1829 tegner han ved Haugsfossen hvor hans venn fra København, hamburgeren Chr. Morgenstern, hadde malt to år tidligere. En avgjørende forandring ble det for B. at hans far i 1831 ble sorenskriver i Sogn, så familien flyttet til Solvorn, som i en rekke år ble malerens tilholdssted. B. kan som ung være kommet i forbindelse med antikvarisk interesserte folk i Bergen. I de nærmeste årene malte han en rekke små bilder der stavkirker og små steinkirker er satt inn i det mektige Sognelandskapet. De kan være noe stive som maleri, men de har karakter både i sin litt tunge koloritt og som naturskildring, og de har betydelig antikvarisk verdi. Særlig somrene 1832 og 1834 synes å ha vært viktige. I 1835 reiste B. til Lysekloster og til Voss, og i 1837 til Ullensvang. Fra Solvorn kunne han greit komme til Nigardsbreen og inn mot Fanaråken. I 1832 tegnet B. Frithjofsteinen ved Leikanger, samme sommer som Henrik Wergeland var på reise i Sogn og tegnet nettopp dette fortidsminne. Samme år og i 1837 malte B. romantiske partier med gravhaugene i Balestrand mot en bakgrunn av mektige fjell og fjord. Også i Aurland og Nerødalen fant B. motiver for sin kunst.
I 1834 fikk B. anledning til å reise til Trondheim og langs Helgelandskysten til Bodø. Han drog til Alstahaug og Hestmannen og ut til Træna. Senere, da han studerte hos Dahl, malte B. Nasjonalgalleriets livfulle bilde med den takkete fjelløya bak en opprørt sjø og under drivende skyer. Her er klare impulser fra Dahl, men den skarpe koloritten viser avstanden mellom lærer og elev. For B.s fremtidige arbeid ble denne kortvarige Nordlandsturen en viktig inspirasjon. Sannsynligvis var det under Dahls reise i Norge i 1834 at B. traff ham og kunne gjøre avtale med ham om studieopphold i Dresden. Fra august 1836 var han i de tre følgende årene Dahls elev. Dahl var en streng lærer, og at han nøye har fulgt sin elev og rettledet ham, viser B.s mange studier i Dahls ånd, ikke minst de karakteristiske skystudiene. Det synes å ha vært et godt forhold mellom de to, og B. opprettholdt kontakten med sin lærer.
I Dresden har også C.D. Friedrichs kunst gjort inntrykk på B. Friedrichs stemningsbetonte landskaper med ensomme skikkelser som skuer ut i naturen, har B. etterlignet. Skikkelsene går i omskapt form igjen i hans sene effektfulle kystpartier. Sommeren 1839 kom B. ifølge med Dahl til Norge. De tegnet ved Christiania og ved Hønefossen, og reiste sammen til Sogn, hvor Dahl var gjest i Solvorn. De gjorde også ulflukter bl.a. til armene av Jostedalsbreen.
B. ble igjen i Solvorn. En øyensykdom tvang ham til uvirksomhet, og de følgende fire årene skal han ha vært meget deprimert. Dette må ha kommet plutselig, for så sent som forsommeren 1839 hadde B. med Dahls anbefaling søkt om stipendium for utenlandsopphold i to år. I 1843 fikk så B. stipendiet, 500 Spd. Han var da blitt frisk igjen og reiste til Dresden om høsten. Det skal ha vært etter råd av J.C. Dahl at B. to år senere flyttet til München som hadde ry som kunstby. I de mange år B. tilbrakte der, foretok han stadig studieturer om sommeren til småstedene i fjellene, til Tyrol og Sveits, dessuten gjentatte ganger til kysten på Sørlandet, Rogaland og Sunnhordland. Etter malerier og tegninger å dømme var B. i Norge i alle fall i 1851, 1855, 1860, 1863 og 1869, og vissnok også så sent som i 1871. I 1863 og 1869 var han bl.a. i Lyngdal.
Den første tiden i München var ikke lett, men da han i 1849 stilte ut et måneskinnsbilde med motiv fra den norske kyst, eller Mann am Meeresufer, gjorde han stor lykke. Bildet ble kjøpt av Münchens Kunstforening, og B. måtte male en replikk for prins Luitpold av Bayern. Fra da av hadde B. et stort marked, særlig i Tyskland. For de norske kunstforeningene ble han en yndet leverandør av malerier til de årlige utlodninger. Hans effektfulle landskapsbilleder ble spredt til mange land.
Den bayerske konge, Ludwig, hedret B. ved å la hans portrettbyste stille opp i Neue Pinakothek som en av tidens betydelige malere. Han kjøpte dessuten Fantasie von der norwegischen Sagazeit. Også storhertugen av Oldenburg kjøpte et større maleri av B. i 1869. I 1849 hadde B. gjort en utflukt ifølge med Chr. Morgenstern til Zillerthal i Tirol og fant der motivet til et fossebilde som ble meget beundret og som B. skjenket Bergens Kunstforening. Men som det ble sagt til B.: Du bist zum Mondscheinmaler verdammt. Måneskinnsbilder hadde B. malt alt i Dresden. Månenatt og Stormnatt ved den norske kyst, ble nå stadig tilbakevendende titler hos B. Han bygde nok på sine studier fra kysten, men ønsket ikke å skildre en klart markert lokalitet. Motivet skal ikke være for definert. Tilskueren skal selv fantasere med. Det var B.s tro at om noe skulle sikre hans kunst en fremtid, ville det være det mysteriøse og poetiske element i hans maleri. En stormpisket sjø, fantastiske og forrevne klipper ved kysten, skip og småbåter i svære bølger under en dyster skyet himmel, ble faste motiv i hans maleri; iblant blank sjø etter stormen, men med et skipsvrak drivende i månelyset.
Til sitt siste år fortsatte B. med å male sine blekksvarte måneskinnsbilder. Didrik Grønvold, som sammen med sine to malerbrødre besøkte B. i Blumenstrasse i München i et av hans siste år, skildrer den originale gamle ungkar med "små mysende, halvt godmodige, halvt satiriske øine". Veggene i atelieret var "behængt med Malerens talrige Skizzer. I dem alle sad der mod en mørk Baggrund en lysende Maane i en gulhvid Ring. Alle disse gule Smaaringe blinkede ned til mig, hvor jeg vendte øiet. Jeg hørte senere, at Baade efter Tur tog et af Maanedbillederne ned, malede paa det og hængte det saa op igjen, indtil det efter hans Krav var færdigt. Nogle blev det vel aldrig." En lignende virkning hadde B.s bilder på Lorentz Dietrichson. B. hadde for vane å henge maleriene opp-ned, så måner "stirret ned - snart halve, snart hele, snart paa skraa, snart retfrem - saa mand kunde blive ganske uhyggelig tilmode over alle disse stirrede, plirende, skjæve og halvaabne øine." B.s maleri hadde et personlig preg og karakter sålenge han arbeidet ut fra en iakttatt natur og sålenge han fulgte den kunstneriske holdning han hadde lært i København og Dresden. Det er også påtagelig hvor ukunstlete og ofte vakre hans akvareller også fra de senere års studieturer kan være. De er uten det effektsøkende og overdrevne i formasjonene, lyset og kontrastene som ble en ødeleggende manér i B.s måneskinnsbilder, hvor også fargen er forarmet i de dystre tonene og formen lite presis. Det som en gang skapte hans suksess, har gjort hans maleri lite akseptabelt for ettertiden.